No caso da gripe, depende da estirpe da mesma. O tipo específico de doença que se transmite do ser humano para os animais e o inverso chama-se Doença Zoonótica. (http://www.petmd.com/blogs/thedailyvet/pmahaney/2012/apr/keeping_pets_friendly_disease_free#.UPH4U6XT0UU#.UlxR5xDUdfY):
O potencial para zoonose depende de uma variedade de factores, incluindo o clima, geografia, densidade populacional, condições sanitárias (ou falta delas), hábitos de higiene e outros factores.
Algo como a gripe suína é um bom exemplo e o artigo relacionado fornece muitos mais.
No caso dos furões e da gripe, é possível transmitir-lhes geralmente estirpes apenas humanas. É por isso que os furões são normalmente utilizados em estudos porque o seu sistema imunitário é semelhante ao nosso. Da Wikipedia ](http://en.wikipedia.org/wiki/Ferret#Health):
Porque compartilham muitas características anatômicas e fisiológicas com humanos, os furões são amplamente utilizados como sujeitos experimentais na pesquisa biomédica, em campos como virologia, fisiologia reprodutiva, anatomia, endocrinologia e neurociência.
Para realmente responder à sua pergunta: Em geral, não. Mas existem outros factores (como a estirpe específica de uma doença) que podem causar-lhe a transmissão da sua doença ao seu animal. Se não tiver a certeza, penso que deve tentar distanciar-se do animal ou, no mínimo, tentar evitar contaminar a sua comida.